Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 231 dm³ = ..... mm³
231 dm³ = 231000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
36 dm³ + 620 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
36 dm³ + 620 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
36 dm³ = 36000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
36 dm³ + 620 cm³
= 36000 cm³ + 620 cm³
= 36620 cm³
= 36620000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 19 ml Wasser eben 19 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 mm lang, 4 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 mm ⋅ 4 mm ⋅ 5 mm
= 60 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 18 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 18 m = 72 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 60 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 60 mm³ = 4 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
60 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 60 mm³ : 20 mm² = 3 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 4 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅4 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅4 m⋅10 m
= 40 m² + 100 m² + 80 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 5 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 dm ⋅ 5 dm ⋅ 10 dm
= 400 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 dm⋅5 dm + 2⋅8 dm⋅10 dm
+ 2⋅5 dm⋅10 dm
= 80 dm² + 160 dm² + 100 dm²
= 340 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(8|4) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-4 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+5) = E(2|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+5) = F(7|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+5) = H(3|9).
