Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 60% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 38 Nasen hat.
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
93 | 0.5281 |
94 | 0.4944 |
95 | 0.4611 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.5 |+ - 0.5
0.5 ≥ oder ≤ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 95 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.4⋅95) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=95:
≈ 0.4611
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 94 sein, damit ≤ 0.5 oder eben ≥ 0.5 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 69 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 36 und höchstens 40 beträgt?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.55.
=
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.55,40) - binomcdf(69,0.55,35))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?
p | P(X≥10)=1-P(X≤9) |
---|---|
... | ... |
0.9997 | |
0.9988 | |
0.9967 | |
0.9924 | |
0.9846 | |
0.9724 | |
0.9548 | |
0.9316 | |
0.9026 | |
0.8683 | |
0.8294 | |
0.7868 | |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 10 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens
24 sein.
Also wären noch 19 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 92 Wiederholungen 56 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?
p | P(X≥56)=1-P(X≤55) |
---|---|
... | ... |
0.57 | 0.2607 |
0.58 | 0.3274 |
0.59 | 0.4004 |
0.6 | 0.4774 |
0.61 | 0.5557 |
0.62 | 0.6324 |
... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,55) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 72 Versuchen genau 11 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.1.
= =0.048879702525653≈ 0.0489(TI-Befehl: binompdf(72,0.1,11))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 69 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 69⋅0.25 ≈ 17.25,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.6
20.85 (17.25 + 3.6) und 13.65 (17.25 - 3.6) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 17.25 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 14 und 20 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 14 und 20 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.25,20) - binomcdf(69,0.25,13))