Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 8 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Karo"?
Ereignis | P |
---|---|
Kreuz -> Kreuz | |
Kreuz -> Pik | |
Kreuz -> Herz | |
Kreuz -> Karo | |
Pik -> Kreuz | |
Pik -> Pik | |
Pik -> Herz | |
Pik -> Karo | |
Herz -> Kreuz | |
Herz -> Pik | |
Herz -> Herz | |
Herz -> Karo | |
Karo -> Kreuz | |
Karo -> Pik | |
Karo -> Herz | |
Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Pik: ; Herz: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Karo' (P=)
'Karo'-'Kreuz' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Kombinatorik
Beispiel:
Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 6 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 3 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 8 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.
Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 6 ⋅ 3 = 18 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 8 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 6 ⋅ 3 ⋅ 8 = 144 Möglichkeiten ergeben.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
In einem Behälter sind 11 blaue, 10 gelbe und 12 grüne Kugeln. Es werden 13 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 4 Kugeln blau und genau 4 Kugeln grün sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 33 durchnummeriert wären.
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 13 der insgesamt 33 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 13 von 33 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 11 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 blauen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 5 gezogenen gelben unter den 10 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "5 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 gelben Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen grünen unter den 12 grünen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 grünen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben uns mit jedem Fall der gezogenen grünen kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "13 Kugeln aus 33 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = = ≈ 0,0718 = 7,18%
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 4 beschriftet sind, wird 5 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede der 4 Zahlen dabei einmal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 4 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 4 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 4⋅4⋅...⋅4 = 45 Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Es gibt
Hierfür gibt es
Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 4 möglich sind, gibt es somit
Jetzt bleiben noch 3 Felder (Drehungen), die mit den anderen 3 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen
muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 3! = 3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(3 Möglichkeiten für das erste Feld, 2 Möglichkeiten für das zweite ...)
Insgesamt erhalten wir somit
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, P(r-r) =
Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim zweiten Versuch ist dann:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|⋅ 11 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Behälter A sind 2 rote und 2 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 9 rote und 4 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 8 rote und 5 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:
P = P1 + P2 =