Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X\le 3)$ = $P_{0.24}^6(X=0)$ + $P_{0.24}^6(X=1)$ + $P_{0.24}^6(X=2)$ + $P_{0.24}^6(X=3)$ = 0.96743286784 ≈ 0.9674
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.24}^4\cdot {0.76}^2$=0.02874507264≈ 0.0287
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.24}^5\cdot {0.76}^1$=0.003630956544≈ 0.0036
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.24}^6\cdot {0.76}^0$=0.000191102976≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	500	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-18	2	482	4982
P(X=xi)	0.9674	0.0287	0.0036	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,574}$	$\mathrm{1,8}$	$1$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{17,4132}$	$\mathrm{0,0574}$	$\mathrm{1,7352}$	$\mathrm{0,9964}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9674 + 20⋅0.0287 + 500⋅0.0036 + 5000⋅0.0002

≈ 3.37

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.37 - 18 = -14.63 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9674 + 2⋅0.0287 + 482⋅0.0036 + 4982⋅0.0002

≈ -14.62

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{8}{33}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{4}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{8}{495}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{495}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{2}{3}$	$\frac{8}{33}$	$\frac{4}{55}$	$\frac{8}{495}$	$\frac{1}{495}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{2}{3}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{32}{495}$	$\frac{1}{99}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{2}{3}$ + 2⋅$\frac{8}{33}$ + 3⋅$\frac{4}{55}$ + 4⋅$\frac{8}{495}$ + 5⋅$\frac{1}{495}$

= $\frac{2}{3}$$+$ $\frac{16}{33}$$+$ $\frac{12}{55}$$+$ $\frac{32}{495}$$+$ $\frac{1}{99}$
= $\frac{330}{495}$$+$ $\frac{240}{495}$$+$ $\frac{108}{495}$$+$ $\frac{32}{495}$$+$ $\frac{5}{495}$
= $\frac{715}{495}$
= $\frac{13}{9}$

≈ 1.44