Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 150) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(1500 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 63) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 63) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 63) mod 10 ≡ (2 ⋅ 3) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23364 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 233 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 542 mod 757
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 48 mod 757
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 33 mod 757
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 332 mod 757
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 459 mod 757
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 235 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31271 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 503 mod 857
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 194 mod 857
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 785 mod 857
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 42 mod 857
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 50 mod 857
64: 31264=31232+32=31232⋅31232 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 786 mod 857
31271
= 31264+4+2+1
= 31264⋅3124⋅3122⋅3121
≡ 786 ⋅ 194 ⋅ 503 ⋅ 312 mod 857
≡ 152484 ⋅ 503 ⋅ 312 mod 857 ≡ 795 ⋅ 503 ⋅ 312 mod 857
≡ 399885 ⋅ 312 mod 857 ≡ 523 ⋅ 312 mod 857
≡ 163176 mod 857 ≡ 346 mod 857
Es gilt also: 31271 ≡ 346 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59
| =>89 | = 1⋅59 + 30 |
| =>59 | = 1⋅30 + 29 |
| =>30 | = 1⋅29 + 1 |
| =>29 | = 29⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 30-1⋅29 | |||
| 29= 59-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1) |
| 30= 89-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59
oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅89 = -3⋅59
-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59
-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1
(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1
86⋅59 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1
Somit 86⋅59 = 1 mod 89
86 ist also das Inverse von 59 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
