Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.2cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.867 und somit β=60.1°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.9°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+29.9°=β=60.1° gilt nun: α = 30.1°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 36° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 36° = 54°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{126°}}{2}$ = 63°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(63°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(63°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(54°)=$\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{sin(54°)}}$ = 5.6cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=13 ⋅ tan(60°) ≈22.5167

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=13 ⋅ tan(40°) ≈10.9083

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=22.517 - 10.908 ≈ 11.608 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 8 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 8² + 6²

c² = 64 + 36

c² = 100

c = $\sqrt{\mathrm{100}}$ ≈ 10

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{8}{6}$ ≈ 1.333

Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-53.1° = 36.9°