Aufgabenbeispiele von am Schaubild mit Stammfkt.
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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.
Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 einen Hochpunkt haben.
Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.
Wendepunkte in f (mit F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = -1.
Monotonie (mit F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Wir erkennen: Im Intervall [-3;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Punkt mit paralleler Tangente (mit F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.
Am Schaubild kann man f '(0) = 0 ablesen.
Die gesuchte Stelle ist also x = 0.
Summe f(x) und f'(x) (mit F)
Beispiel:
Bestimme F(1) + f(1).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(1) = f(1) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich F(1) = 1 am Schaubild ablesen:
Also gilt: F(1) + f(1) =
1 +
Verkettung von f und f' (mit F)
Beispiel:
Bestimme F(f(-2)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-2) = entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.
Wir suchen also F(f(-2)) = F().
F() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
F(f(-2)) = F() = .
Integral von f' ablesen
Beispiel:
Bestimme .
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a) oder = f(b)- f(a)
Wir können im Schaubild f(-4) = -4 und f(-3) = 1 ablesen.
Also gilt
= f(-3)- f(-4) =
1 -
Differenz Funktionswerte
Beispiel:
Bestimme f(5) - f(0).
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a) oder = f(b)- f(a)
Wir können also f(5)- f(0) durch den Wert des Integrals aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;5] einschließt.
Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:
I1 = ⋅
I2 = ⋅
Wir erhalten also I=I1+I2 = 7.5 als orientierten Flächeninhalt.
Somit gilt: f(5)-f(0) = 7.5
Größenvergleich in f (mit F)
Beispiel:
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a) oder = f(b)- f(a)
Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).
Wir erkennen, dass zwischen x = -3 und x = 0 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(0) < f(-3) sein.
Zwischen x=0 und x=2 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(2) > f(0).
Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(0) der kleinste der drei Werte ist.
Um nun noch herauszufinden. ob f(-3)>f(2) oder f(2)>f(-3) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.
Hierbei erkennt man klar:
>
Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -3 und 0 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 0 und 2.
Also muss f(-3) größer als f(2) sein. Insgesamt gilt:
f(0) < f(2) < f(-3)
Wendepunkte in f (mit F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = 0.
Nullstellenanzahl bei Integralfunktion
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J-1 = im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .
- Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J-1.
- Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2.9 erkennen, weil man am Graph beim Integral zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt =0 und J-1(2.9) = 0, J-1 hat also bei x = 2.9 eine Nullstelle.
- Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4.9 erkennen, weil man am Graph beim Integral zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt = 0 und J-1(-4.9) = = - = 0, J-1 hat also bei x = -4.9 eine Nullstelle.
An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.
Somit hat die Integralfunktion J-1(x) = im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.
Wert einer Stammfunktion bestimmen
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-2) = 5,4.
Entscheide dich für einen Wert von F(0).
Den Zuwachs von F(-2) zu F(0), also F(0) - F(-2) = kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.
Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.
Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
≈
-5.4
Wegen
= F(0) - F(-2) ≈
-5.4 gilt dann
F(0) =
+ F(-2) ≈ -5.4
+