Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
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= 0,065
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
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=
≈ 0,568
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass
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=
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert
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= |
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eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Da u=
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
≈ 438,633
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= | |
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= |
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|:( |
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= |
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Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
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=
=
=
=
=
≈ 1,865
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,865 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 45 m ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m - 1,865 m ≈ 43,135 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 43,135 m.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 34,2 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.
- Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Wie viele Hundert Personen treten in den ersten 4 Stunden in das Festival-Gelände ein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 9 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5
Hundert Personen
von 1 bis 9: ca. -10.7 Hundert Personen
von 9 bis 10: ca. 0.5 Hundert Personen
- kleinster Bestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 9 erst 0.5 Hundert Personen zu- und dann wieder 10.7 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =9 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B9 = 34.2+0.5-10.7 = 24 Hundert Personen . - Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 1 Stunden maximal. - reiner Zuwachs nach 4 Stunden
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;4] ablesen. Diese ist ca. Z4 = 16.9 Hundert Personen .