$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-4}}{2}$ = -2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>1</mn>}}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₄ = $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -6 -2 +1.5 +2 = -4.5

= ${\left[\frac{5}{2}{x}^2-5x\right]}_0^3$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot 3^2-5\cdot 3-\left(\frac{5}{2}\cdot 0^2-5\cdot 0\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot 9-15-\left(\frac{5}{2}\cdot 0+0\right)$

= $\frac{45}{2}-15-\left(0+0\right)$

= $\frac{45}{2}-\frac{30}{2}+0$

= $\frac{15}{2}$

= ${\left[-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{3}{4}{e}^{2x}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \pi }-\left(-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \pi }-\left(-2\cdot 0+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $2+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \pi }-\left(0+\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $\frac{3}{4}{e}^{2\cdot \pi }+2-\frac{3}{4}{e}^{\pi }$

= $\frac{3}{4}{e}^{2\pi }-\frac{3}{4}{e}^{\pi }+2$

= ${\left[-\frac{1}{4}{\left(-x+3\right)}^4\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot {\left(-2+3\right)}^4+\frac{1}{4}\cdot {\left(-0+3\right)}^4$

= $-\frac{1}{4}\cdot 1^4+\frac{1}{4}\cdot {\left(0+3\right)}^4$

= $-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 3^4$

= $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot 81$

= $-\frac{1}{4}+\frac{81}{4}$

= $20$

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+3\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(0\right)}^3+3\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+3\cdot 0-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+3\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+0-\left(0+3\right)$

= $\frac{1}{24}\cdot {\pi }^3-3$

= ${\left[\sin \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\sin \left(-3\cdot \pi -\frac{1}{2}\pi \right)-\sin \left(-3\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $\sin \left(-\frac{7}{2}\pi \right)-\sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $1-\left(-1\right)$

= $1+1$

= $2$

= ${\left[-\frac{3}{4}{x}^4+t{x}^3\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot 4^4+t\cdot 4^3-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0^4+t\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 256+t\cdot 64-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0+t\cdot 0\right)$

= $-192+64t-\left(0+0\right)$

= $64t-192+0$

= $64t-192$

Dieses Integral $64t-192$ muss nun gleich $-96$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.