f(0) = $78$

f(1) = $78$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $78$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $78$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $78$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11\cdot {\mathrm{0,85}}^9$ ≈ 2,548.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.8:

$11\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{1,8}$	|:$11$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{0,1636}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1636}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1636}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1636}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,1392}$

Nach ca. 11,139 Jahre ist also der Bestand = 1.8 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 28.06 kg ist, also f(10) = 28.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ ein:

$90a^{10}$	=	$\mathrm{28,06}$	|:$90$
$a^{10}$	=	$\frac{\mathrm{28,06}}{90}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\frac{\mathrm{28,06}}{90}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt[10]{\frac{\mathrm{28,06}}{90}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $90\cdot {\mathrm{0,89}}^{11}$ ≈ 24,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$90\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$20$	|:$90$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{2}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9068}$

Nach ca. 12,907 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 8836.98 € ist, also f(10) = 8836.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ ein:

c ⋅ 1.01¹⁰ = 8836.98

c ⋅ 1.10462 = 8836.98 | : 1.10462

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^{12}$ ≈ 9014,6.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8700 € ist, also f(t) = 8700:

$8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$8700$	|:$8000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{87}{80}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{80}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{80}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{87}{80}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,43}$

Nach ca. 8,43 Jahre ist also der Kontostand = 8700 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,893}}^t$ ablesen: a=0.893.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.893($\frac{1}{2}$) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.82($\frac{1}{2}$) ≈ 3.49 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,87}}^t$