Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ um: $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{9}{2}$} = $\sqrt{1000000000}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $34$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $34$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $34$ und auf $4^3$ = 4³ > $34$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $34$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $34$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{50}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{16x^8}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{16}{x}^{-8}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$