Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-4$) und B(-2|$128$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-4$ = $a·1^n$
II: $128$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $128$ = $-4\cdot {\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $\left(-\frac{1}{4}\right)$

$-32$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-4x^5$

Wir setzen einfach die beiden Punkte A($\frac{1}{2}$|$\frac{1}{4}$) und B($\frac{1}{4}$|$\frac{1}{16}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{4}$ = $a·{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$
II: $\frac{1}{16}$ = $a·{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: = a
II: = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

= | ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ⋅ ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$

$\frac{1}{4}$ ⋅ ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ = $\frac{1}{16}$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ | ⋅ 16

$4$ ⋅ ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ = $1$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ = ${\left(\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)}^n$ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ist.

$4·{\left(\frac{1}{2}\right)}^n·{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ | : ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

$4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ = $1$ | :$4$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ = $\frac{1}{4}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

n=$2$ eingesetzt in I:

I: $\frac{1}{4}$ = $a·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

I: $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}a$ | ⋅ $4$

also a=$1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $x^2$