Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + 8 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + 8 x^{2}$	=	$- 9 x^{5}$	\| $+ 9 x^{5}$
$x^{8} + 9 x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{5}$ = 288 Somit gilt: S₁( $- 2$ |288)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{5}$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

x₃ = 0: f(0)= $- 9 \cdot 0^{5}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 2 x} - 3) \cdot (x + 6)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 2 x} - 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$7 e^{- 2 x}$	=	$3$	\|: $7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 0.4236

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{3}{7})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 3}{x} - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 3}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=
$x + 3 - 2 x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 16 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 16 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 3 \cdot 6^{2} - 16 \cdot 6 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$2 x$	$- 12$
		-( $2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 3 | + 6$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 3 \| + 6$	=	$- 12$
$6 - \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 12$	\| $- 6$
$- \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 18$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$18$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 5) + 3$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$18$
$3 x - 3$	=	$18$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 7 + 3$ = -18 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: