$\text{f(x)}=$ $4+\frac{6}{5}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{5}{e}^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{8}{5}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(5x^4-x^5\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^3-5}·9x^2$

= $-18·e^{3x^3-5}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{3x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x+3}+x^5·e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x+3}+x^5·\left(-3e^{-3x+3}\right)$

= $5x^4·e^{-3x+3}-3x^5·e^{-3x+3}$

= $e^{-3x+3}·\left(5x^4-3x^5\right)$

= $e^{-3x+3}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x+3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}·4e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,066}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{11,2}-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{15,2}\right)$

= $\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$