$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^5-4x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-16x^3$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^3-4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^2-8x$

f'(1) = $12\cdot 1^2-8\cdot 1$ = $12\cdot 1-8$ = $12-8$ = $4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x}$

= $4x^{-1}$

=> f'(x) = $-4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3-\frac{3}{2}\sqrt{x}$

= $3x^3-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $9x^2-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-\frac{3}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-5\cdot \sin \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+5t$
= $-5\cdot 1+5t$
= $-5+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-15$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $-2\cdot \left(-1\right)-3$ = $2-3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3+1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+2t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-12\cdot 0^3+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 76 )°| ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+3$

f'(1) = $-3\cdot 1+3$ = $-3+3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{16}{x}^4-18x+3$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^3-18$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.