$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x+1\right)·\left(-2+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x+1\right)·\left(-2\right)$

= $-4\cdot \cos \left(-2x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3{\left(-2x-5\right)}^3}$

= $\frac{2}{3}{\left(-2x-5\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-2{\left(-2x-5\right)}^{-4}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x-5\right)}^4}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-2x-5\right)}^4}·\left(-2\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x-5\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{-x-3}$

= ${\left(-x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(-x-3\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-x-3\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(-x-3\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{{\left(-x-3\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-2) = $-2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-2)) = F($-2$).

F($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-2)) = F($-2$) = 0.

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{x}$

= $\sin \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{x}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{x}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{3x+2}$

= $3{\left(3x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(3x+2\right)}^{-2}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3\right)$

= $-\frac{9}{{\left(3x+2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(-2x\right)+x^2·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+x^2·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2x^2·\cos \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.