$x^{-7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^7}$.

Also ist $-x^{-7}$ das gleiche wie $-1·\frac{1}{x^7}$ = $-\frac{1}{x^7}$.

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3$ = ${\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^3$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^3$ = x^{$\frac{1}{4}$⋅3} = $x^{\frac{3}{4}}$

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[9]{x}\right)}^8}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}·8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ = $x^{-\frac{8}{9}}$

${81}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

$\frac{2^{20}}{2^{15}}$

= $2^{20-15}$

= $2^5$

= 32

${\mathrm{0,0001}}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{\mathrm{0,0001}}$

= $\mathrm{0,1}$

${\left({\left(\frac{9}{5}\right)}^{\frac{1}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(\frac{9}{5}\right)}^{\frac{1}{5}·10}$

= ${\left(\frac{9}{5}\right)}^2$

= $\frac{81}{25}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x}·\sqrt[9]{x^{12}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{12}{9}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{5b^{-3}}{\frac{12}{b^4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b^3}}{\frac{12}{b^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b^3}·\frac{b^4}{12}$

= $\frac{5}{12}b$