$\sqrt{x+4}$ = $-2$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{19x+5}-5$	=	$x$	| $+5$
$\sqrt{19x+5}$	=	$x+5$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19x+5$	=	${\left(x+5\right)}^2$

$19x+5$

=

$x^2+10x+25$

| $-x^2$ $-10x$ $-25$

$-x^2+9x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{9^2-4·\left(-1\right)·\left(-20\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{81-80}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-9+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

x₂ = $\frac{-9-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{19x+5}-5$ $=$ $\sqrt{19\cdot 4+5}-5$ = $\sqrt{76+5}-5$ = $\sqrt{81}-5$ = $9-5$ = $4$

Rechte Seite: x = $4$ in $x$ $=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{19x+5}-5$ $=$ $\sqrt{19\cdot 5+5}-5$ = $\sqrt{95+5}-5$ = $\sqrt{100}-5$ = $10-5$ = $5$

Rechte Seite: x = $5$ in $x$ $=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$; $5$}

$\sqrt{18x+52}$	=	$2\sqrt{5x+9}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18x+52$	=	${\left(2\sqrt{5x+9}\right)}^2$

$18x+52$	=	$4\left(5x+9\right)$
$18x+52$	=	$20x+36$	| $-52$
$18x$	=	$20x-16$	| $-20x$
$-2x$	=	$-16$	|:($-2$)
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite: x = $8$ in $\sqrt{18x+52}$ $=$ $\sqrt{18\cdot 8+52}$ = $\sqrt{144+52}$ = $\sqrt{196}$ = $14$

Rechte Seite: x = $8$ in $2\sqrt{5x+9}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot 8+9}$ = $2\sqrt{40+9}$ = $2\sqrt{49}$ = $14$

Also 14 = 14

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}

$\sqrt{5x-1}$	=	$\sqrt{x-1}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x-1$	=	${\left(\sqrt{x-1}+2\right)}^2$

$5x-1$	=	$4\sqrt{x-1}+x+3$	| $-5x$ $+1$ $-4\sqrt{x-1}$
$-4\sqrt{x-1}$	=	$-4x+4$	|:($-4$)
$\sqrt{x-1}$	=	$x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x-1$	=	${\left(x-1\right)}^2$

$x-1$

=

$x^2-2x+1$

| $-x^2$ $+2x$ $-1$

$-x^2+3x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{5x-1}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 1-1}$ = $\sqrt{5-1}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $1$ in $\sqrt{x-1}+2$ $=$ $\sqrt{1-1}+2$ = $\sqrt{0}+2$ = $0+2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{5x-1}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 2-1}$ = $\sqrt{10-1}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{x-1}+2$ $=$ $\sqrt{2-1}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$; $2$}