Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{18}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x^{2}$

$18$	=	$2 x^{2}$	\| $- 18$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{5}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{5}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$x + 5$	=	$x \cdot x + 5 x$

x + 5

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 4$ = $- \frac{- 10}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$3 x + 4$	=	$\frac{10}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$3 x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$	=	$\frac{10}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$3 x (x + 1) + 4 x + 4$	=	$10$
$3 x^{2} + 3 x + 4 x + 4$	=	$10$
$3 x^{2} + 7 x + 4$	=	$10$

3 x^{2} + 7 x + 4

=

10

|

- 10

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7+11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7-11}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 4 x - 12$	=

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 33}{2 x - 8} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{33}{2 x - 8} + 4 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{33}{2 (x - 4)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{33}{2 (x - 4)} + 4 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{33}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + 4 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$66 + 16 x (x - 4)$
$x$	=	$16 x^{2} - 64 x + 66$

x

=

16 x^{2} - 64 x + 66

|

- 16 x^{2}

+ 64 x

- 66

$- 16 x^{2} + 65 x - 66$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{65^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{4 225 - 4 224}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{1}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 65 + \sqrt{1}}{- 32}$ = $\frac{- 65+1}{- 32}$ = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 65 - \sqrt{1}}{- 32}$ = $\frac{- 65-1}{- 32}$ = $\frac{- 66}{- 32}$ = $\frac{33}{16}$ ≈ 2.06

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $\frac{33}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{8}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{8}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{8}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{8}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 8 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 8 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{7}{x + 8}$ = $\frac{86}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x - 8} - \frac{7}{x + 8}

=

\frac{86}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x - 8} - \frac{7}{x + 8}$	=	$\frac{86}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) - \frac{7}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{86}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x + 8) - 7 x + 56$	=	$86 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x + 8) - 7 x + 56$	=	$86$
$x^{2} + 8 x - 7 x + 56$	=	$86$
$x^{2} + x + 56$	=	$86$

x^{2} + x + 56

=

86

|

- 86

$x^{2} + x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen