Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a= $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- (x + 1) (x - 3)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $(x + 4) x$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: f(2)=-1,
also f(2)= $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 5)$ = $- 3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{3} (x - 1) (x - 5)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: f(0)=2,
also f(0)= $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- (x + 1) (x - 2)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- (x + 1) (x - 2)$

= $- (x \cdot x + x \cdot (- 2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 2))$

= $- (x \cdot x - 2 x + x - 2)$

= $- (x^{2} - x - 2)$

= $- x^{2} + x + 2$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- x^{2} + x + 2$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 10 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $- 5 (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von Linearfaktordarstellung

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)