Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -4 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = -2 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-1] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;3] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 eine maximale Steigung (m ≈ 2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Man erkennt am Graph von f '' 3 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 6 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = 1 + 2 = $3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $2$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 3 und g(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3)= f(-3)⋅g(-3) = 3⋅3 = 9

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-3 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-3) als auch g'(-3) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-3) = g'(-3) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3)
= $-2$⋅3 + 3⋅ $\left(-2\right)$
= $-12$.

Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -4 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Da der Graph von f ' bei x = -1 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).