Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.5 zu erzielen, also $P_{0.5}^{65}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.5}^{65}(X\le 37)$ - $P_{0.5}^{65}(X\le 29)$ ≈ 0.8927 - 0.2285 ≈ 0.6642 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.5,37)- binomcdf(65,0.5,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.72 zu erzielen, also $P_{0.72}^{50}(25\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.72}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.72}^{50}(X\le 24)$ ≈ 0.0449 - 0.0003 ≈ 0.0446 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.72,30)- binomcdf(50,0.72,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6642 ⋅ 0.0446 ≈ 0.0296

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^4$

Dabei gibt ja ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOO

OXXXXXOOO

OOXXXXXOO

OOOXXXXXO

OOOOXXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^4$ ≈ 0.0046

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{105}(X\le 98)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.83.

$P_{0.83}^{105}(X\le 98)$ = $P_{0.83}^{105}(X=0)$ + $P_{0.83}^{105}(X=1)$ + $P_{0.83}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.83}^{105}(X=98)$ = 0.999477880669 ≈ 0.9995
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.83,98))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9995) und 'überbucht'(p=0.00049999999999994).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9995}$; überbucht: $\mathrm{0,0005}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9985}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0005}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0005}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0005}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9985}$ + $\mathrm{0,0005}$ + $\mathrm{0,0005}$ + $\mathrm{0,0005}$ = $1$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.2}^{10}(X=2)$ ≈ 0.302.

Analog betrachten wir nun die restlichen 80 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.2}^{80}(Y\le 10)$ ≈ 0.0565.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.2}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.2}^{80}(Y\le 10)$ = 0.302 ⋅ 0.0565 ≈ 0.0171